\documentclass{article}
\usepackage{palatino}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[spanish]{babel}
\begin{document}
\title{Seno y coseno de la suma de dos n\'umeros reales}
\author{Ra\'ul Vallejo Garamendi}
\maketitle

Sea $y\in\mathbb{R}$.  Considere las funciones:
\begin{align*}
    f_1(x)&:= \sin(x+y) - \sin(x) \cos(y) - \cos(x) \sin(y)\\
    f_2(x)&:= \cos(x+y) - \cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)\\
\end{align*}
podemos observar que:
\begin{align*}
    f_1(0)&= \sin(0+y) - \sin(0) \cos(y) - \cos(0) \sin(y)\\
          &= \sin(y)   - (0) \cos(y) - (1) \sin(y)\\
          &= \sin(y)   - \sin(y)\\
          &= 0.\\
    f_2(0)&= \cos(0+y) - \cos(0) \cos(y) + \sin(0) \sin(y)\\
          &= \cos(y) - (1) \cos(y) + (0) \sin(y)\\
          &= \cos(y) - \cos(y) \\
          &= 0. \\
\end{align*}
Ahora vamos a ver que pasa con las derivadas de $f_1$ y $f_2$.
\begin{align*}
    f'_1(x)&= \cos(x+y) - \cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)\\
    f'_2(x)&= -\sin(x+y) + \sin(x) \cos(y) + \cos(x) \sin(y)\\
\end{align*}
debemos observar que:
\begin{align*}
    f_1'(x) = f_2(x)\\
    f_2'(x) = -f_1(x)\\
\end{align*}
Si consideramos ahora la funci\'on:
\begin{align*}
    h(x) = (f_1(x))^2 + (f_2(x))^2
\end{align*}
y su derivada, tenemos:
\begin{align*}
    h'(x) &= 2f_1(x)f'_1(x) + 2f_2(x)f'_2(x)\\
          &= 2f_1(x)(-f_2(x)) + 2 f_2(x) (f_1(x))\\
          &= - 2 f_1(x) f_2(x) + 2 f_2(x) f_1(x)\\
          &= 0.
\end{align*}
por lo tanto, $h$ es una funci\'on constante. Bastar\'a evaluarla en un
punto para saber qu\'e constante es.
\begin{align*}
    h(0) &= (f_1(0))^2 + (f_2(0))^2\\
         &= (0)^2 + (0)^2\\
         &= 0
\end{align*}
entonces:
\begin{align*}
    (f_1(x))^2 + (f_2(x))^2 = h(x) = 0.
\end{align*}
Ahora vamos a hacer una estimaci\'on:
\begin{align*}
    0\le (f_1(x))^2 \le (f_1(x))^2 + (f_2(x))^2 = 0\\
    0\le (f_2(x))^2 \le (f_1(x))^2 + (f_2(x))^2 = 0
\end{align*} 
por lo tanto:
\begin{align*}
    f_1(x) = 0\\
    f_2(x) = 0\\
\end{align*} 
de donde:
\begin{align*}
    f_1(x)= 0 &=\sin(x+y) - \sin(x) \cos(y) - \cos(x) \sin(y)\\
    f_2(x)= 0 &=\cos(x+y) - \cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)\\
\end{align*}
con lo que obtenemos:
\begin{align*}
    \sin(x+y) &= \sin(x) \cos(y) + \cos(x) \sin(y)\\
    \cos(x+y) &= \cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y)\\
\end{align*}
    

\end{document}