\documentclass{article}
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\begin{document}
\title{La ecuación cúbica}
\author{Eduardo Virueña Silva}
\maketitle
\section{La fórmula}
Considérese la ecuación:
\begin{equation} \label{cubica}
	a x^3 + b x^2 + c x + d = 0
\end{equation}
con $a$, $b$, $c$, $d$ $\in \mathbb{R}$, $a \ne 0$.

Para resolver (\ref{cubica}), primero se divide la ecuación entre $a$.
\begin{align*}
	x^3 + \frac{b}{a} x^2 + \frac{c}{a} x + \frac{d}{a} = 0
\end{align*}
Se podría eliminar el término de segundo grado, para ello se hace  un 
cambio de variable $x=z+t$
\begin{align*}
	(z+t)^3 + \frac{b}{a} (z+t)^2 + \frac{c}{a} (z+t) + \frac{d}{a} = 0
\end{align*}
la expansión de binomios da:
\begin{align*}
	\left(
		z^3  + 3z^2t + 3 z t^2 + t^3
	\right)
	+ \frac{b}{a} \left(
		z^2 + 2 z t + t^2
	\right) z
	+ \frac{c}{a}\left(
		z+t
	\right) z 
	+ \frac{d}{a}
	= 0
\end{align*}
agrupando los términos semenjantes de $z$:
\begin{align*}
	z^3 
	+ \left(
		3t + \frac{b}{a}
	\right) z^2
	+ \left(
		3t^2 + 2 \frac{b}{a} t + \frac{c}{a}   
	\right) z
	+ \left(
		t^3 + \frac{b}{a} t^2 + \frac{c}{a} t + \frac{d}{a}
	\right) = 0
\end{align*}
para eliminar el término de segundo grado, tomamos: $t=-\frac{b}{(3a)}$
\begin{align*}
	z^3 
	+ \left(
		3\left(-\frac{b}{3a}\right) 
		+ \frac{b}{a}
	\right) z^2
	+ \left(
		3\left(-\frac{b}{3a}\right)^2 
		+ 2 \frac{b}{a} \left(-\frac{b}{3a}\right) 
		+ \frac{c}{a} 
	\right) z\\
	+ \left(
		\left(-\frac{b}{3a}\right)^3 
		+ \frac{b}{a} \left(-\frac{b}{3a}\right)^2 
		+ \frac{c}{a} \left(-\frac{b}{3a}\right) 
		+ \frac{d}{a}
	\right) = 0
\end{align*}
\begin{align*}
	z^3 
	+ \left(
		- \frac{b}{a}
		+ \frac{b}{a}
	\right) z^2
	+ \left(
		\frac{3b^2}{9a^2}
		-\frac{2b^2}{3a^2}
		+ \frac{c}{a} 
	\right) z
	- \frac{b^3}{27a^3}
	+ \frac{b^3}{9a^3}
	- \frac{bc}{3a^2}
	+ \frac{d}{a}
	= 0
\end{align*}
\begin{align*}
	z^3 
	+ \left(
		\frac{3b^2}{9a^2}
		-\frac{6b^2}{9a^2}
		+\frac{9ac}{9a^2}
	\right) z
	-\frac{b^3}{27a^3}
	+ \frac{3b^3}{27a^3}
	- \frac{9abc}{27a^3}
	+ \frac{27a^2d}{27a^3}
	= 0
\end{align*}
\begin{align*}
	z^3 
	+\frac{3ac -b^2}{3a^2} z
	+\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}
	= 0
\end{align*}
Ahora la ecuación puede escribirse:
\begin{align*}
	&z^3 + p z + q = 0
\intertext{con}
	&p= \frac{3ac -b^2}{3a^2}\\
	&q= \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}
\end{align*}
Se considera ahora un binomio al cubo:
\begin{align*}
	(u+v)^3 = u^3 + 3u^2 v +  3u v^2 + v^3
\end{align*}
que puede agruparse así:
\begin{align*}
	(u+v)^3 =  3uv(u+v) + u^3+v^3 + 
\end{align*}
\begin{align*}
	(u+v)^3 -  3uv(u+v) - (u^3+v^3)  = 0
\end{align*}
que puede compararse con la ecuación:
\begin{align*}
	&z^3 + p z + q = 0
\intertext{con}
	&z= u+v\\
	&p= -3uv\\
	&q= -\left(u^3 + v^3\right) = -u^3 -v^3
\end{align*}
puede despejarse a $v$ y sustituirse en $q$:
\begin{align*}
	v &= - \frac{p}{3u}\\
	q&= - u^3 - \left(-\frac{p}{3u}\right)^3\\
	u^3q&= - u^6 - \left(-\frac{p}{3}\right)^3\\
\end{align*}
reacomodando:
\begin{align*}
	(u^3)^2 + q u^3 - \left(\frac{p}{3}\right)^3= 0
\end{align*}
que puede resolverse como una cuadrática:
\begin{align*}
	u^3&=\frac{-q \pm \sqrt{q^2+ 4\left(\frac{p}{3}\right)^3}}{2}\\
	   &=-\frac{q}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+ \left(\frac{p}{3}\right)^3}\\
\end{align*}
Debe observarse que esta misma expresión puede deducirse para $v^3$. 
De manera que las raíces pueden asignarse arbitrariamente así:
\begin{align*}
	u&=\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+ \left(\frac{p}{3}\right)^3}}\\
	v&=\sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+ \left(\frac{p}{3}\right)^3}}
\intertext{pero debe recordarse que:}
	uv &= -\frac{p}{3}
\end{align*}
Por lo tanto, $z$ puede escribirse en la forma:
\begin{align*}
	z_1&=\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+ \left(\frac{p}{3}\right)^3}}
	+ \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+ \left(\frac{p}{3}\right)^3}}
\end{align*}
Debe hacerse un cuidadoso análisis de:
\begin{align*}
	\left(\frac{q}{2}\right)^2+ \left(\frac{p}{3}\right)^3
\end{align*}
pues, si esta cantidad es negativa, el proceso involucrará números complejos.

Las otras dos raíces se obtienen considerando la raíz cúbica de la unidad:
\begin{align*}
	\omega= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i\\
\end{align*}
y considerando:
\begin{align*}
	u_2&= u \omega\\
	v_2&= v \omega^2\\
\intertext{se tiene:}
	u_2 v_2&= u v \omega^3\\
		&= -\frac{p}{3}
\intertext{entonces la segunda raíz es:}
	z_2&= u_2+ v_2\\
\intertext{ análogamente}
	u_3&= u \omega^2\\
	v_3&= v \omega\\
\intertext{de donde:}
	u_3 v_3&= u v \omega^3\\
		&= -\frac{p}{3}
\intertext{entonces la tercera raíz es:}
	z_2&= u_2+ v_2\\
	z_3&= u_3 + v_3
\end{align*}
Por último, la soluciones de la ecuación cúbica serán:
\begin{align*}
	x_1= z_1 + \frac{b}{3a}\\
	x_2= z_2 + \frac{b}{3a}\\
	x_3= z_3 + \frac{b}{3a}
\end{align*}

\section{Ejemplo}
\subsection{$x^3-16x^2+79x-120=0$}
En esta ecuación:
\begin{align*}
	a&= 1\\
	b&= -16\\
	c&= 79\\
	d&= -120\\
\intertext{por lo tanto}
	p&= \frac{3ac -b^2}{3a^2}\\
	 &= \frac{3(1)(79) - (-16)^2}{3*(1)^2}\\
	 &= \frac{237-256}{3}\\
	 &= -\frac{19}{3}\\
        q&= \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}\\
	 &= \frac{2(-16)^3 - 9(1)(-16)(79) + 27(1)^2(-120)}{27(1)^3}\\
	 &= \frac{-8192 + 11376 -3240}{27}\\
	 &= -\frac{56}{27}\\
	D&= \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3\\
	D&= \left(\frac{-\frac{56}{27}}{2}\right)^2 
		+ \left(\frac{-\frac{19}{3}}{3}\right)^3
	 = \left(-\frac{28}{27}\right)^2 
                + \left(-\frac{19}{9}\right)^3\\
	 &= \frac{784}{729}-\frac{6859}{729} = \frac{6075}{729}\\
	 &= -\frac{25}{3}\\
	u&=\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{D}}\\
	 &=\sqrt[3]{-\frac{-\frac{56}{27}}{2} + \sqrt{-\frac{25}{3}}}\\
	 &=\sqrt[3]{-\frac{28}{27} + i \sqrt{\frac{25}{3}}}\\
	 &= \frac{4}{3} + \frac{i}{\sqrt{3}}\\
	v&=\sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{D}}\\
	 &=\sqrt[3]{-\frac{-\frac{56}{27}}{2} - \sqrt{-\frac{25}{3}}}\\
	 &=\sqrt[3]{-\frac{28}{27} - i \sqrt{\frac{25}{3}}}\\
	 &= \frac{4}{3} - \frac{i}{\sqrt{3}}\\
\end{align*}
ahora, notemos que:
\begin{align*}
	uv& = \left(\frac{4}{3} + \frac{i}{\sqrt{3}}\right) 
	\left(\frac{4}{3} - \frac{i}{\sqrt{3}}\right)\\
	  & = \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\\
	  & = \frac{16}{9} +\frac{1}{3}\\
	  & = \frac{19}{9}\\
	 -\frac{p}{3} &= - \left(-\frac{19}{3}\right) = \frac{19}{3} \\
	 & = uv
\end{align*}
entonces:
\begin{align*}
	z_1&= u+v = \left(\frac{4}{3} + \frac{i}{\sqrt{3}}\right) +
      		  \left(\frac{4}{3} - \frac{i}{\sqrt{3}}\right)\\
	 &= 2 \left(\frac{4}{3}\right)\\
	 &= \frac{8}{3}
\end{align*}
por último:	
\begin{align*}
	x_1&= z_1 - \frac{b}{3a}\\
	 &= \frac{8}{3} - \frac{-16}{3(1)}\\	
	 &= \frac{8}{3} + \frac{16}{3(1)}\\	
	 &= \frac{24}{3}\\
	 &= 8.
\end{align*}
Las otras dos raíces pueden obtenerse así:
\begin{align*}
	z_2&= \omega u + \omega^2 v\\
	 &= \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i\right)
	 	\left(\frac{4}{3} + \frac{i}{\sqrt{3}}\right)
	+ \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i\right)
	  \left(\frac{4}{3} - \frac{i}{\sqrt{3}}\right)\\
	 &= -\frac{7}{3}\\
	x_2 &= z_2 - \frac{b}{3a}\\
	 &= -\frac{7}{3} - \frac{-16}{3(1)}\\
	 &= -\frac{7}{3} + \frac{16}{3}\\
	 &= \frac{9}{3}\\
	 &= 3\\
	z_3&= \omega^2 u + \omega v\\
	         &= \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i\right)
                \left(\frac{4}{3} + \frac{i}{\sqrt{3}}\right)
        + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i\right)
          \left(\frac{4}{3} - \frac{i}{\sqrt{3}}\right)\\
	 &= \frac{1}{3}\\
	x_3= &= z_3 - \frac{b}{3a}\\
         &= -\frac{1}{3} - \frac{-16}{3(1)}\\
         &= -\frac{1}{3} + \frac{16}{3}\\
         &= \frac{15}{3}\\
         &= 5
\end{align*}
	
\end{document}
