\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\title{Método de Feynman de integración}
\author{Eduardo Virueña Silva}
\maketitle
Calcular:
\[
	\int_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx
\]

Puede probarse fácilmente que:
\begin{equation}\label{int}
	\int e^{ax}\sin(x) dx =\frac{1}{1+a^2} e^{ax} \left(a\sin(x) - cos(x)\right)+C
\end{equation}

Sabemos que no existe una primitiva para la función:
\begin{align*}
	f &:  \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
	f(x)&=	\begin{cases}
		\frac{\sin(x)}{x},& \textrm{si } x \ne 0 \\
			0, & \textrm{si } x=0
		\end{cases}
\end{align*}
por lo que la integración va a requerir una técnica especial.  

\noindent Consideremos entonces la función:
\begin{align*}
	g &:  \mathbb{R}^+\cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R} \\
	g(u) &= \int_0^{\infty} \frac{e^{- x u} \sin(x)}{x} dx
\end{align*}
Observemos que:
\begin{align*} 
	g(0) &= \int_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx
\end{align*}
que es la integral que queremos calcular.

Podemos derivar $g$ y obtener:
\begin{align*}
	g'(u) & = \frac{d}{du} \int_0^{\infty} e^{-x u}\frac{\sin(x)}{x} dx\\
	& = \int_0^{\infty} \frac{d}{d u} e^{-x u}\frac{\sin(x)}{x} dx\\
	& = \int_0^{\infty}  -x e^{-x u}\frac{\sin(x)}{x} dx\\
	& = - \int_0^{\infty}  e^{-x u}\sin(x) dx\\
\end{align*}
Empleando la fórmula (\ref{int}), podemos evaluar esta integral:
\begin{align*}
	\int_0^\infty e^{-x u}\sin(x) dx =& \left[ \frac{1}{1+(-u)^2} e^{(-u)x} \left((-u)\sin(x) - cos(x)\right)\right] _0^\infty\\
	=& \left[ \frac{1}{1+u^2} e^{-ux} \left(-u\sin(x) - cos(x)\right)\right] _0^\infty\\
	=& \frac{1}{1+u^2} \left[e^{-ux} \left(-u\sin(x) - cos(x)\right)\right] _0^\infty\\
	=&\frac{1}{1+u^2} 
	\left[
		\lim_{x\to\infty}\left[ 
				e^{-ux} \left(-u\sin(x) - cos(x)\right)
				\right]
	\right]  \\
	& - \left[ e^{-u0} \left(-u\sin(0) - cos(0) \right)
	\right] \\
	=& \frac{1}{1+u^2} \left( 0 - (-1) \right)\\
	=& \frac{1}{1+u^2}
\end{align*}
Con lo que ahora se tiene:
\begin{align*}
	g'(u) =& -\frac{1}{1+u^2}
\intertext{Ahora se procede a integrar:}
	g(u) =& -\int  \frac{1}{u^2+1} du\\
	 =& -\arctan u + C
\end{align*}
Lamentablemente, no se conoce el valor de dicha constante, pero puede 
observarse que:
\begin{align*}
\lim_{u \to \infty} g(u) &= 
	\lim_{u \to \infty}\int_0^{\infty} \frac{e^{-x u} \sin(x)}{x} dx \\
			&= 0.
\intertext{De manera que:}
	\lim_{u \to \infty} g(u) =& -\arctan(u) + C \\
	 0 =& -\frac{\pi}{2} + C\\
	 C =& \frac{\pi}{2}
\intertext{por lo tanto:}
	g(u) =& -\arctan(u) + \frac{\pi}{2}
\end{align*}
Por último, 
\begin{align*}
	\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} dx =& g(0)\\
	=& -\arctan(0) + \frac{\pi}{2}\\
	=& \frac{\pi}{2}
\end{align*}


\end{document}
