\documentclass{article}
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\begin{document}
\title{Solución de Lagrange de ecuaciones cúbicas}
\author{Eduardo Virueña Silva}
\date{}
\maketitle
\begin{align*}
\intertext{Empecemos con la ecuación cúbica:}
	x^3 +& ax^2 + bx + c = 0
\intertext{con $a, b, c \in \mathbb{R}$.}
\intertext{que puede resolverse resolviendo la ecuación 
{\em resolvente de Lagrange}:}
	z^2 + &(2a^3 -9ab+27c)z + (a^2-3b)^3=0
\intertext{Al encontrar sus raíces $z_1$, y $z_2$, se 
obtiene una solución para la ecuación cúbica mediante 
la relación:}
	x_1&=\frac{-a+\sqrt[3]{z_1}+\sqrt[3]{z_2}}{3}\\
\intertext{las otras dos raíces son:}
	x_2&=\frac{-a+\omega\sqrt[3]{z_1}+\omega^2\sqrt[3]{z_2}}{3}\\
	x_3&=\frac{-a+\omega^2\sqrt[3]{z_1}+\omega\sqrt[3]{z_2}}{3}
\intertext{donde:}
	\omega &= -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{align*}

\begin{gather*}
\intertext{En efecto, empecemos con una ecuación de tercer grado,
y procedamos a resolverla como lo hizo Cardano:}
	x^3 + ax^2 + bx + c = 0
\intertext{Consideremos un cambio de variable $x= y + h$, y busquemos
un valor para $h$ de manera que podamos eliminar el término cuadrático:	}
	(y+h)^3 + a(y+h)^2 + b(y+h) + c = 0\\
	(y^3+3y^2h+3yh^2+h^3) + a(y^2+2yh+h^2)^2 + b(y+h) + c = 0\\
	y^3+3y^2h+3yh^2+h^3 + ay^2+2ayh+ah^2 + by+bh + c = 0\\
	y^3+3hy^2 + ay^2+ 3h^2y+2ahy+by + h^3 + ah^2 + bh + c = 0\\
	y^3+(3h + a)y^2+ (3h^2+2ah+b)y +h^3 + ah^2 + bh + c = 0
\end{gather*}
\begin{align*}
\intertext{Tomemos $h=-\frac{a}{3}$, para eliminar el término 
de segundo grado.}
		y^3 
		 +\left(3\left(-\frac{a}{3}\right) + a\right)y^2
		 &+\left(3\left(-\frac{a}{3}\right)^2
		 + 2a\left(-\frac{a}{3}\right)+b\right)y \\
		 &+\left(-\frac{a}{3}\right)^3+a\left(-\frac{a}{3}\right)^2 
			+b\left(-\frac{a}{3}\right) + c = 0\\
		y^3 
		 +\left(-a + a\right)y^2
		&+\left(3\left(\frac{a^2}{9}\right) 
		 - \frac{2a^2}{3}+b\right)y 
		 - \frac{a^3}{27}+\frac{a^3}{9}-\frac{ab}{3}+c=0\\
\intertext{Busquemos denominadores adecuados para las sumas:}
		y^3 &
		 +\left(\frac{a^2}{3}
		 - \frac{2a^2}{3}+\frac{3b}{3}\right)y 
		 - \frac{a^3}{27}+\frac{3a^3}{27}-\frac{9ab}{27}
		 				+\frac{27c}{27} = 0\\
		y^3 &
		 +\left(\frac{3b-a^2}{3}\right)y 
		 +\frac{2a^3-9ab+27c}{27} = 0\\
\end{align*}
\begin{align*}
\intertext{Tomemos:}
	p&={3b - a^2}\\
	q&= {2a^3-9ab+27c}\\
\intertext{para tener:}
	y^3& + \frac{p}{3}y + \frac{q}{27} = 0
\end{align*}
\begin{align*}
\intertext{Notemos que:} 
	(u+v)^3& = u^3+3u^2v+3uv^2+v^3\\
	(u+v)^3& -3uv(u+v) -(u^3+v^3)  = 0
\intertext{lo que puede identificarse con la ecuación anterior si:}
	y &= u+v\\
	\frac{p}{3} &= -3uv\\
	\frac{q}{27} &= -u^3-v^3\\
\intertext{Despejemos $v$:}
	v& = -\frac{p}{9u}
\intertext{y luego sustituyamos:}
	\frac{q}{27}& = -u^3-\left(-\frac{p}{9u}\right)^3\\
	u^3& + \left(-\frac{p}{9u}\right)^3 +\frac{q}{27} = 0\\	
	u^6& + \frac{q}{27} u^3 - \left(\frac{p}{9}\right)^3 = 0\\	
	u^6& + \frac{q}{27} u^3 - \frac{p^3}{9^3} = 0\\	
\intertext{Nótese que: $9^3=(3^2)^3=3^6$}
	u^6& + \frac{q}{3^3} u^3 - \frac{p^3}{3^6} = 0\\	
\intertext{Multipliquemos por $3^6$}
	3^6u^6& + 3^3 q u^3 - p^3 = 0\\	
	(3u)^6& + q (3u)^3 - p^3 = 0\\	
	\left((3u)^3\right)^2&+q(3u)^3-p^3 = 0\\	
\intertext{De la que podemos obtener $(3u)^3$:}
	(3u)^3&= \frac{-q\pm \sqrt{q^2-4(1)(-p^3)}}{2(1)}\\
	      &= \frac{-q\pm \sqrt{q^2+4p^3}}{2}\\
\intertext{De manera similar, despejando $v$ y haciendo la sustitución,
también llegamos a que:}
	(3v)^3&= \frac{-q\pm \sqrt{q^2+4p^3}}{2}\\
\intertext{Entonces, podemos tomar:}
	(3u)^3&=  \frac{-q + \sqrt{q^2+4p^3}}{2}\\
	(3v)^3&=  \frac{-q - \sqrt{q^2+4p^3}}{2}\\
\intertext{Las expresiones de la derecha son las raíces de la ecuación:}
	z^2 &+ qz + p^3= 0
\intertext{así que tenemos:}
	u&= \frac{1}{3} \sqrt[3]{z_1}\\
	v&= \frac{1}{3} \sqrt[3]{z_2}
\end{align*}
\begin{align*}
\intertext{Debemos recordar que realmente hay tres raíces cúbicas
complejas de un número complejo $t$:}
	r_0&= \sqrt[3]{t}, \quad 
	r_1= \omega \sqrt[3]{t} \quad 
	r_2= \omega^2 \sqrt[3]{t}\\
\intertext{Donde:}
	\sqrt[3]{t}&= |t|^{\frac{1}{3}} e ^{\frac{\arg(t)}{3}i}\\
	\omega&= -\frac{1}{2} + i\sqrt{\frac{3}{2}}
\intertext{$\omega$ es la raíz cúbica primitiva de la unidad.}
\end{align*}
\begin{align*}
\intertext{Entonces, las raíces de $u$ y de $v$ deberían escogerse
con cuidado, de manera que $\frac{p}{3}= -3uv$.  Esto puede lograrse 
escogiendo:}
	\frac{p}{3}&= -3 u v\\
	\frac{p}{3}&= -3 (u\omega) (v\omega^2) = 3uv\omega^3= -3uv\\
	\frac{p}{3}&= -3 (u\omega^2) (v\omega) = 3uv\omega^3= -3uv 
\intertext{De manera que $y^3 + 3py + q=0$, tiene las soluciones: }
	y_1 &= u + v\\
	y_2 &= \omega u +\omega^2 v\\
	y_3 &= \omega^2 u +\omega v\\
\intertext{La ecuación $x^3 + ax^2 + bx + c= 0$ tiene
soluciones:}
	x_1 &= \frac{-a+ \sqrt[3]{z_1} + \sqrt[3]{z_2}}{3} \\
	x_2 &= \frac{-a+ \omega \sqrt[3]{z_1} + \omega^2\sqrt[3]{z_2}}{3} \\
	x_3 &= \frac{-a + \omega^2\sqrt[3]{z_1} + \omega \sqrt[3]{z_2}}{3} 
\intertext{Donde $z_1$ y $z_2$ son las raíces de la ecuación:}
	z^2 &+ qz + p^3= 0
\intertext{que es la ecuación:}
	z^2 & + (2a^3-9ab+27c)z + (3b - a^2)^3 = 0
\end{align*}
\end{document}
