\documentclass[12pt]{article}
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\newtheorem{Prob}{Problema}
\begin{document}
\title{Problema 9-4\\Theory of Equations\\Uspensky}
\author{Myriam Rosalía Maldonado Ramírez\\
Eduardo Virueña Silva}
\date{Noviembre, 2025}
\maketitle
\begin{Prob}
Probar que si $z_0, z_1, z_2$ son tres números
complejos distintos, entonces la igualdad:
\[
 |z_2 - z_1|^2 = |z_1 - z_0|^2  + |z_2 - z_0|^2 
\]
se cumple si y sólo si, existe un número real $\lambda$ tal que:
\[
	z_2 - z_0 = i \lambda (z_1 - z_0)
\]
\end{Prob}

\noindent{\em Observación}\\
Notemos que $z_1 - z_0 \ne 0$, porque los tres puntos son distintos.

\begin{proof}\phantom{.}\\

\noindent{\bf Necesidad}\\
Supongamos primero que:
\[
	|z_2-z_1|^2 = |z_1-z_0|^2 + |z_2-z_0|^2
\]
\begin{align}
\intertext{Expresemos}
	\frac{z_2-z_0}{z_1-z_0} &= a + ib \label{cero}\\
\intertext{entonces}
	z_2-z_0 &= (a + bi)(z_1-z_0) \nonumber
\end{align}
\begin{align}
\intertext{Tenemos por hipótesis:}
	|z_2-z_1|^2 &= |z_2-z_0|^2 + |z_1-z_0|^2\nonumber\\
		&= | (a + bi)(z_1-z_0) |^2 +  |z_1-z_0|^2\nonumber\\
		&= | a+bi |^2 |z_1-z_0|^2 + |z_1-z_0|^2\nonumber\\
		&= ( |a+bi|^2+1) |z_1-z_0|^2\nonumber\\
		&= ( a^2+b^2+1) |z_1-z_0|^2\label{uno}
\end{align}
\begin{align}
\intertext{Por otro lado:}
	|z_2-z_1|^2 &= | z_2-z_0 + z_0 -z_1| ^2\nonumber\\
		&= |(z_2-z_0) - (z_1 -z_0)| ^2\nonumber\\
		&= |(a+bi)(z_1-z_0) - (z_1 -z_0)| ^2\nonumber\\
		&= |(a+bi-1)(z_1-z_0)| ^2\nonumber\\
		&= |(a+bi-1)|^2|z_1-z_0|^2\nonumber\\
		&= ((a-1)^2 + b^2)^2|z_1-z_0|^2\nonumber\\
		&= (a^2-2a+1+ b^2)|z_1-z_0|^2\label{dos}
\end{align}
\begin{align*}
\intertext{Igualando (\ref{uno}) y (\ref{dos})}
	(a^2-2a+1+ b^2)|z_1-z_0|^2&= ( a^2+b^2+1) |z_1-z_0|^2\\
\intertext{Como sabemos que $z_1-z_0\ne 0$}
	(a^2-2a+1+ b^2)\cancel{|z_1-z_0|^2}
	&= (a^2+b^2+1) \cancel{|z_1-z_0|^2}\\
	a^2-2a+1+ b^2
	&=a^2+b^2+1 \\
	\cancel{a^2}-2a+1+ \bcancel{b^2}
	&=\cancel{a^2}+\bcancel{b^2}+1\\
	-2a+1&= 1 \\	
	-2a&= 0 \\	
	a&= 0\\	
	\end{align*}
\begin{align*}
\intertext{Entonces, (\ref{cero}) queda:}
	\frac{z_2-z_0}{z_1-z_0} &= 0 + bi = ib\\
\intertext{de donde, existe $\lambda=b \in \mathbb{R}$, tal que:}
	z_2-z_0&= i\lambda (z_1-z_0)
\end{align*}

\noindent{\bf Suficiencia}\\
Recíprocamente, ahora supongamos que existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que:
\[
        z_2 - z_0 = i \lambda (z_1 - z_0)
\]
entonces:
\begin{align*}
	|z_2 - z_1|^2 
		&= |z_2 - z_0 + z_0 - z_1|^2\\
		&= |z_2 - z_0 + z_0 - z_1|^2\\
		&= |i\lambda(z_1 - z_0) + z_0 - z_1|^2\\
		&= |i\lambda(z_1 - z_0) - (z_1 - z_0)|^2\\
		&= |(i\lambda-1)(z_1 - z_0)|^2\\
		&= |1-i\lambda|^2(z_1 - z_0)|^2\\
\intertext{como $\lambda \in \mathbb{R}$ entonces:}
		&= (1^2+\lambda^2) |z_1 - z_0|^2\\
		&= |z_1 - z_0|^2 + \lambda^2 |z_1 - z_0|^2\\
\intertext{ sabemos que $|i|=1$, por lo tanto $1= |i|^2$}
		&= |z_1 - z_0|^2 + |i|^2\lambda^2 |z_1 - z_0|^2\\
		&= |z_1 - z_0|^2 + |i\lambda|^2 |z_1 - z_0|^2\\
		&= |z_1 - z_0|^2 + |i\lambda(z_1 - z_0)|^2\\
	|z_2 - z_1|^2 
		&= |z_1 - z_0|^2 + |z_2 - z_0|^2
\end{align*}
			
\end{proof}

La idea geométrica que relaciona los módulos de las diferencias con
el Teorema de Pitágoras tiene validez.  El factor $i$ significa que
los números complejos $z_1-z_0$ y $z_2-z_0$ forman un ángulo 
que mide $\frac{\pi}{2}$; $\lambda$, es un factor de escala entre sus módulos.


\end{document}


