\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\title{ $ \sqrt{n} \le \sqrt[n]{n!} $}
\author{ESFM}
\maketitle

\noindent {\bf Ejercicio}

Para toda $n \in \mathbb{N}$ pruebe que:
\[
	\sqrt{n} \le \sqrt[n]{n!} 
\]

\noindent {\bf Demostración}

Sea $n \in \mathbb{N}$, primero probaremos que para toda $k$ tal que 
$0< k\le n$, se cumple: $n \le(n-k+1) k$:

Notemos primero que si $0<k$, entonces $0\le k-1$ y que si $k\le n$
entonces $0\le n-k$, por lo tanto, el producto $(n-k)(k-1)$ también
será positivo.
\begin{align*}
		0 \le& (n-k)(k-1)\\
		0 \le& nk -n -k^2 + k\\
		n \le& nk + k - k^2\\
		n \le& (n-k+1 ) k
\end{align*}

Ahora probemos la desigualdad propuesta.
\begin{align*}
\intertext{Cada factor del producto:}
	&[1\cdot n] [2\cdot(n-1)] \dots [(n-1)\cdot 2] [n\cdot 1]\\
\intertext{es mayor que $n$, porque todos sus factores son de la forma
$ (n-k+1) k $, por lo tanto, como hay $n$ factores:}
	n^n &\le [1\cdot n] [2\cdot(n-1)] \dots [(n-1)\cdot 2] [n\cdot 1]\\
\intertext{reacomodando los factores:}
	n^n &\le \left[1\cdot 2 \dots n\right] \cdot
		\left[n \cdot (n-1) \dots 2 \cdot 1\right]\\
	n^n &\le n! n! \\
	n^n &\le (n!)^2 \\
	n^{\frac{n}{2}} &\le n! \\
	\left(n^\frac{1}{2}\right) ^ n &\le n!\\
	\left(\sqrt{n}\right) ^ n &\le n!\\
	\left(\sqrt{n}\right) ^ n &\le n!\\
	\sqrt{n} &\le \sqrt[n]{n!}\\
\end{align*}
\qed

\end{document}